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题目：等腰梯形ABCD中，AD平行BC，且BC

解法1：托勒密定理

①辅助线：作等腰梯形ABCD的对称轴l；作P关于直线l的对称点P"；连接PP"、AP"、BP"、CP"、DP’;

②则AP"=DP=4，BP"=CP=3，CP"=BP=2，DP"=AP=1；

【资料图】

③应用托勒密定理：定理证明 | 托勒密定理

在四边形APP"D中：PP"×AD+AP×DP"=AP"×DP

所以PP"×AD+1×1=4×4

所以PP"×AD=15 (1)

在四边形BPP"C中：PP"×BC+BP×CP"=BP"×CP

所以PP"×BC+2×2=3×3

所以PP"×BC=5 (2)

由(2)÷(1)得：BC:AD=1:3

解法2：斯图瓦特定理

①辅助线：延长AB、DC相交于点E，连接PE；

②应用斯图尔特定理：

在△APE中：

a×b×（a+b）+4×（a+b）=1×a+s2×b (1)

在△DPE中：

a×b×（a+b）+9×（a+b）=16×a+s2×b (2)

由(2)-(1)得：b=2a，BC:AD=BE:AE=1:3

补充：斯图尔特定理证明

解法3：建系暴力解题

①辅助线：构造平面直角坐标系如图所示，设点的坐标如图所示；

②用两点间的距离公式：

由PA2-PD2得：4ac=-15

由PB2-PC2得：4bc=-5

所以a:b=1:3，BC:AD=1:3

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